El Problema del Cubo y la Nube

 

 

Vamos a ir calentando motores para el curso de R. Todos ustedes ya habrán visto los típicos acertijos matemáticos  que van circulando por la red, como el siguiente:

 

Sin embargo estos acertijos no plantean un verdadero reto, es simplemente un problema de asociación y lingüística, no de matemáticas. Con el siguiente problema voy a intentar abrirles un poco la mente para prepararla para el curso.

 

Este problema lo inventé para explicarle a una prima mía cómo me ganaba la vida con las finanzas. Es muy fácil de resolver. Aquellos que hayan estudiado geometría sabrán como hacerlo. Es el siguiente:

 

Tenemos un cubo de volumen “x”. Dentro del cubo tenemos una nube compacta de volumen “y”, ¿Cual es el área de la superficie de la nube sabiendo que la superficie no es elástica y que el valor de “y” es un 70% de “x”?

 

Y ahora para los más avezados:

 

Si asumimos que la superficie es elástica y permanentemente cambiante, ¿Cuál sería el área de su superficie en cualquier momento tn?

 

Este pequeño problemita les va a servir de mucho en el futuro porque requiere de dos cosas:

 

  1. Operar sin números.
  2. Pensar de forma diferente.

 

Y si, no es poner un problema al azar. Este problema está íntimamente relacionado con las finanzas. Es más, si logran resolverlo, es todo el conocimiento matemático que necesitan para sacar la carrera universitaria de finanzas.

 

Un saludo y ¡mucha suerte!

Manuel Fajardo Manuel Fajardo
- Managing Director Ocean Calypso Master-Feeder Hedge Fund - Chief Executive Officer Ocean Quant Group

28 comentarios

  • Mientras el cubo permanezca igual, la superficie seguirá siendo el 70% del volumen del mismo. SI el cubo se agranda en términos porcentuales el la masa de la nube se reducirá, permaneciendo igual en valores absolutos.
    SI la superficie del cubo se reduce, entonces este, en términos porcentuales, aumentará, pudiendo llegar a ocupar el 100% del cubo (y si el cubo esta abierto, la nube superará, en términos porcentuales, el volumen del cubo).

  • Juan Luis Alcibar

    Supongo que hay algo que no está bien definido. Si suponemos que la nube es esférica, me resulta un área de 3.81 para un cubo inicial de lado 1. Si la nube es cúbica, el área es 4.73. Con dos ejemplos simples me da dos resultados diferentes. Intuitivamente parece que podemos complicar la forma de la nube cuanto queramos y tener el área que queramos.

  • Alberto Sabater

    Manuel, ¿que la nube no es elástica implica que no puede cambiar de forma manteniendo el volumen?

  • Por cierto, el problema de la manzana, el platano y el coco tiene esta solución:
    1. si la suma de las tres manzanas tiene un valor de 30.
    2. podemos suponer que cada manzana tiene un valor de 10: 10+10+10=30
    3. si el valor de la suma entre una manzana y dos manillas de plátanos es 18 y sabemos que el de una manzana es 10, podemos suponer que cada platano pesa 4: 10+4+4=18
    4. si la diferencia entre el peso de una manilla de plátanos es de 2, y la manilla vale o pesa 4, entonces el coco pesa o vale 2.
    5. luego, coco+manzana+manilla de plátanos será igual a 2+10+4= 14

  • Manuel Fajardo

    Hola,

    Antes que nada, increíble, las respuestas van por el camino que deberían ir. Esa forma de pensar es la apta para las finanzas.

    1. Carlos el planteamiento que has hecho está mal porque como descubrió Juan Luis, existe una relación independiente entre are y volumen. Pero Carlos, tu planteamiento tiene algo muy bonito y es el juegar con los tamaños relativos. Me encanta esa forma de discurrir.
    2. Juan Luis, lo que dices es completamente cierto, ahora encuentra la forma para generalizar el area de cualquier forma y habrás sacado la respuesta de la primera pregunta.
    3. Alberto, que la nube sea elástica significa que la relación entre el volumen del cubo y la nube no es constante.
    4. Carlos, eso es correcto, pero vamos, es un problema muy facilito y de lenguaje jeje sigue pensando en el mío a ver si lo sacas.

  • José Joaquín

    Hola Carlos: Solo hacerte notar que 2+10+4 = 16 no suman 14 como indicas en tu post.

  • Alberto

    Está claro que la relación área/volumen depende de la forma de la nube, y para un volumen constante el área se modifica con la forma de dicha nube. Hasta ahí, bien.

  • Manuel Fajardo

    Hola Jose Joaquín, 2+10+4=16 cierto, lo que pasa es que Carlos se equivocó en la suma, no en el resultado. 1+10+3=14. Habrá sido un lapsus.

    Si no saben como explicarlo con notación matemática, explíquenmelo en Español. Igualmente será válido. Están muy cerca.

  • Joan Benaiges

    Yo me he decantado por el mismo planteamiento que Juan Luis,…la relación área/volumen disminuye con el aumento de las caras, si lo simplificamos haciendo que la nube tenga formas de polígonos regulares. Me he planteado, buscar la generalización de la disminución de dicha relación para cada aumento de caras (por ejemplo, para pasar de la relacion de un tetraedro a un cubo hay que multiplicar por RAIZ(6)/6. De un cubo a un octaedro por RAIZ(6)/2, etc…) a través de límites…

    El problema REAL es que estoy en curro y no puedo ir más lejos con esto por ahora…esta noche me romperé la cabeza un poco más ^_^ (y durante la tarde también…no veas como me pican estos problemas!! jeje)

  • Alberto

    Manuel, si considero que puedo alterar la forma de la nube y la compacto sobre el fondo del cubo creando un paralelepípedo de dimensiones L*L*(L-t), siendo t=0.3*L eso seria igual a 0.7*X que es el volumen de la nube, y es facil calcular en área en función de L que es la raiz cúbica de X. De lo que no soy capaz es de generalizar a cuaquier forma de la nube. Esto para la nube no elástica.

  • Joan Benaiges

    Todo esto, entendiéndolo con volumen unitario para simplificar y tal eh, que no se si me he explicado bien … jeje

  • Alberto

    Y estoy con Juan Luis, complicando la forma de la nube aumentamos su superficie específica y el área puede ser como queramos (hasta cierto punto, claro).

  • Alberto

    Joan, el límite está en la esfera, que es la de menor relación area/volumen, vamos, el cuerpo más compacto. El problema está en que la nube es un cuerpo irregular con una forma intrincada, y calcular el área se me antoja complicado analíticamente. Por aproximación numérica, a lo mejor. Pero vamos, que no lo veo claro.

  • Manuel Fajardo

    Jajaja muy bien, están muy cerca.

    El que más cerca está es Alberto. “Por aproximación numérico, a lo mejor”. Ese “a lo mejor” puede ser una forma muy elegante de resolver el problema.

  • Juan Luis Alcibar

    Yo supongo que busca que relacionemos el área con la dimensión fractal de la nube, pero esto es sólo el primero de los problemas .
    Si la superficie es elástica…aparece una nueva variable tiempo y me decantaría porque el valor máximo del área puede ser… un gran lío.

  • Camilo

    Saludos a todos…

    Haré mi comentario con respecto al tema en valores numéricos. Empezamos con lo siguiente:

    – El cubo tiene un figura simétrica, por lo que la longitud de cada lado es iguales (supongamos a), por lo que el volumen del cubo es igual a:

    L = largo
    A = ancho
    H = altura

    Vol_cubo = (L x A x H) = (a x a x a) = a^3

    De acuerdo a lo indicado, el volumen de la nube es el 70% de la del cubo, por lo que:

    Vol_nube = 0.7 x Vol_cubo

    Evidentemente la nube no es simétrica como el cubo, por lo que su definición general de la nube seria igual a:

    Vol_nube = (L x A x H)

    Igualando las ecuaciones, tendríamos:

    Vol_nube = 0,7 x Vol_cubo
    (L x A x H) = 0,7 x (a^3)

    Me parece que por definición, el area de la superficie de la sube es igual a A_nube = (L x A), por lo que:

    A_nube x H = 0,7 x (a^3)

    Ahora despejando el area de la superficie de la nube:

    A_nube = 0,7 x (a^3) / H

    Esta seria una solución final…. pero, asumamos que la nube se expande a lo largo de todo un lado del cubo:

    H = a

    Reemplazando:

    A_nube = 0,7 x (a^3) / a
    A_nube = 0,7 x a^2

    Este seria mi aporte ….. Espero sus comentarios y los de Manuel … Saludos

  • Manuel Fajardo

    Hola Camilo, tu planteamiento flaquea en:

    Vol_nube = (L x A x H)

    ¿Qué pasa si la nube es, por ejemplo, una esfera?

    Un saludo y ¡gracias por comentar!

  • Camilo

    Hola Manuel, si la nube es una esfera, tocaría reemplazar por el volumen de la esfera, que si mal no recuerdo es igual a:

    V_esfera = 4/3 x pi x r^3

    Ahora queda la interrogante si la esfera esta circunscrita en el cubo, es decir si el diámetro de la esfera es igual a unos de los lados del cubo.

    En ese caso, el problema tendría solución ….

    Mi pregunta es: va por ese lado? y la otra interrogante, cuando la descifremos la respuesta, que relaciones tiene con las finanzas..

    Saludos

  • Manuel Fajardo

    Hola Camilo,

    El caso es que como has podido ver, no hay una sola forma que la nube pueda tener, con lo cual un planteamiento rígido no sirve. Alberto y Juan Luis iban por muy buen camino, explora los métodos numéricos y quizás des con la solución.

    La relación con las finanzas es plena. En cuanto averigüen la respuesta explico el porqué.

    ¡Saludos!

  • Alberto

    Bueno, si tuviéramos la funcion que define la superficie podriamos hacer una integral doble, pero como no habrá que, si o si, usar métodos numéricos con aproximaciones sucesivas para ir refinando el valor.

  • Manuel Fajardo

    Vale Alberto, define cómo lo harías y lo damos por válido. Ya hay una persona que ha acertado por privado. ¡A ver si lo conseguimos en público!

  • Alberto

    Bueno, estas matemáticas hace mucho que no las uso, pero supongo que seria una extensión de el cálculo del área bajo una curva mediante rectángulos, por encima de la curva nos dará valores por exceso y por debajo de la curva valores por defecto. Se podría (aunque no se como hacerlo) construir un algoritmo que mida la distancias desde las caras del cubo hasta la superficie para detectar dónde empieza ésta y que forma y tamaño tiene. Pero claro, es fácil decirlo así, ahora prográmalo…

  • Alberto

    Creo que se llama el método de Simpson, creo. Se puede aplicar a integrales dobles tambien.

  • Yeremi Valverde

    Analizando el área y volumen de cubo deduzco lo siguiente:

    Lar relación de la AreaNube será = AreaCubo(x)*78,83% aprox, que seria igual a 54*0,7883 = 42,5721
    para el caso visto abajo donde el volumen x= 27, donde Z es cualquier volumen asignado a cubo(x)

    Fromulas cubo X Desarrollo
    Z=27 27
    VolCubo(x)=Z 27
    arista= √ cubica de x 3
    AreaCubo(x)= 6*(arista)^2 54
    VolNube = VolCubo(x)*0,70 18,9

    Fromula nube Y Desarrollo
    Z= VolCubo(x)*0,70 18,9
    VolNube(y)=Z 18,9
    arista= √ cubica de Vol(y) 2,6637
    AreaNube(y)= 6*(arista)^2 42,5721

    RelacionAreaNubeAreaCubo = AreaNube(y)/AreaCubo(x) = 0,788
    AreaNube será = AreaCubo(x)*78,83% 54*0,7883 = 42,5721

  • Manuel Fajardo

    Hola Alberto, esa solución es la correcta. La solución concreta es un poco más larga y la expondré en un artículo, pero la estratificación del cubo y la sumas de las mediciones de las curvas que se extraen cuando los estratos (que están en dos dimensiones) se alinean es el computo total de cualquier forma de la nube, desde la más simple Esfera, que tiene la menor relación area/volumen, hasta los más complejos sistemas, que conllevan arenas infinitas, como expuso Juan Luis en su argumento de las fractales.

    Ahora les queda la segunda parte.

  • David

    Vamos a ver, hay algo que yo no entiendo o que está mal planteado en el problema inicial:

    Para un cubo cualquiera, se puede definir una forma que tenga un volumen de 0,7xVol. cubo que tenga cualquier superficie que nosotros queramos, desde la esfera, que es la más compacta, hasta infinito con superficies fractales.
    Por lo tanto, para poder calcular la superficie de la nube necesitamos más datos del que da el problema, que es la relación entre los volúmenes.

    ¿Qué no he entendido?

  • Jose Soria

    El problema de la suma de la fruta no es saber los valores de cada clase, ya que eso lo hace un niño de 8 años que sepa sumar y restar.
    Es darse cuenta que los platanos que hay cuatro, valen 4, y en la suma final solo hay 3.
    Por tanto 2+10+3=15
    Saludos

  • Manuel Fajardo

    Hola David, no necesitas más datos.

    Hola Jose, se te ha olvidado de que de dos piezas de coco pasa a una. El resultado es 14.

    Saludos,

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